22 de Agosto de 2018

“Una breve expedición por la teoría ergódica”

Alejandro Maass

Centro de Modelamiento Matemático y Departamento de Ingeniería Matemática

Universidad de Chile

En este texto mi objetivo es mostrar de manera lo más básica posible los elementos principales de la teoría ergódica desde una serie de contribuciones desarrolladas desde Chile y sus colaboradores. Esta teoría ha sido mi hogar matemático por más de 25 años. Muchas definiciones las pasaré por alto, lo que más me interesa son las sensaciones que los teoremas producen en el lector.

1. Algunos elementos de la teoría ergódica.

La teoría ergódica estudia la dinámica de sistemas dinámicos que preservan una medida o volumen. Es decir, en su contexto mas simple, hay una función T: X -> X que transforma puntos o estados de un conjunto X en si mismo y además existe en X una manera de medir volúmenes, que llamamos vol, de subconjuntos de X de modo que vol(A)=vol(T^-1(A)) para todo subconjunto medible A de X. Para disminuir los tecnicismos, esta última expresión lo que quiere decir es que el volumen de un subconjunto de estados de X transformado por T se mantiene constante. Esta sola propiedad de un sistema dinámico permite sacar consecuencias insospechadas.

Una primera consecuencia que marca los inicios de la teoría es la recurrencia y un primer teorema ergódico es el siguiente:

Teorema de Recurrencia de Poincaré. Si vol da valores uniformemente acotados entonces en todo subconjunto medible de X de volumen distinto de cero existe un punto que trasladado por T vuelve en algún momento de su trayectoria a dicho conjunto; mas aún vuelve una infinidad de veces.

Este teorema, inspirado en estudios de fines del siglo XIX, es un precursor importante de los llamados teoremas ergódicos que de alguna manera le dan cuerpo a una serie de resultados de las probabilidades y de la mecánica estadística de muchos siglos anteriores. En particular la Ley de los Grandes Números ya intuida el siglo XVI por el matemático y médico italiano Gerolamo Cardano y recién probada en algunas de sus versiones por Jacob Bernoulli un siglo mas tarde. Esta ley hoy permite entender porqué la repetición de experimentos independientes pero que comparten la misma ley de probabilidad tienden a concentrarse en el promedio. Desde la perspectiva de estas notas una de las preguntas que termina estableciendo el puente entre la teoría ergódica y esta ley es la siguiente: si A y B son conjuntos medibles de X  de volumen positivo, ¿existen puntos en A que viajen por la transformación T hacia B? En el caso de que los conjuntos son iguales esta pregunta no es mas que el Teorema de Recurrencia de Poincaré, cuya demostración moderna no toma mas que un par de líneas, sin embargo cuando los conjuntos son distintos fue necesario el desarrollo de una gran artillería matemática para resolverla. Equivalentemente a la pregunta antes enunciada el punto es saber si, dada una función f de X a valores reales y un punto x en X,  es posible hacer converger la secuencia f(Tⁿ(x)), donde Tⁿ(x) es mover el punto x por la transformación n veces. Esta pregunta, bajo la hipótesis de la llamada ergodicidad, se resuelve a inicios de los años 30 en el siglo XX por Birkhoff y Von Neumann. La diferencia principal es el tipo de convergencia que cada uno analiza y que excede lo que podemos explicar en estas notas.

Teorema Ergódico. Si la transformación T no deja subconjuntos propios de X invariantes de volumen positivo entonces el promedio ergódico siguiente converge a una constante igual a la integral de f en casi todo punto x de X,

1/N ( f(x) + f(T(x)) + f(T²(x)) + f(T³(x)) + …… + f(T^N-1(x)) )

Es decir, los promedios espaciales del observable f tienden a parecerse a los promedios temporales de observar por f la trayectoria de un punto x desplazado por T.

Este teorema y sus extensiones abrieron la puerta a un sin número de aplicaciones en otras áreas de las matemáticas siendo las mas notables aquellas a la Teoría de Números y la Combinatoria así como a la Mecánica Estadística. Entre las preguntas mas célebres que fueron abordadas desde la perspectiva de la Teoría Ergódica y usando este tipo de teoremas, fue saber si cuando pintamos los números enteros por un número finito de colores entonces un color contiene progresiones aritméticas tan largas como uno quiera (Teorema de Van der Waerden) o entender si subconjuntos de números enteros suficientemente grandes contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas (Teorema de Szemerédi).

Lo teoremas antes descritos muestran que cuando una dinámica preserva un volumen la dinámica produce patrones no intuitivos de comportamiento que de alguna manera ordenan el espacio. Eso no quiere decir que las trayectorias de los puntos sean simples, todo lo contrario los teoremas anteriores son válidos independientemente de la complejidad de las trayectorias individuales de los puntos, esa es parte de la magia.

El estudio de la complejidad de las trayectorias de T alcanza su hito principal cuando Kolmogorov introduce la noción de entropía de un sistema dinámico, abriendo otro campo enorme de estudio en teoría ergódica. Esta noción es paralela al desarrollo de la Teoría de la Información de Shannon hacia mediados del siglo pasado. Sin entrar en detalles, a cada sistema dinámico como el antes descrito se le asocia un número h(T,vol) que da cuenta del promedio de complejidad de sus órbitas. Si este número es igual a cero entonces se entiende que se puede predecir el comportamiento de sus puntos y si es positivo se entiende que puntos que han visitado los mismos subconjuntos de X en su trayectoria a partir de un momento pueden empezar a diferenciarse de manera importante. Es decir, una primera noción de caos. Luego, pero no tanto, aparece la entropía topológica de un sistema donde el espacio X es topológico (compacto muchas veces) y T continua. En este contexto hablamos de dinámica topológica.

1. Combinando dinámica, probabilidades y estructuras discretas.

En el resto de este texto quiero describir algunos problemas que ilustran de alguna manera mis propias contribuciones y las de mis estudiantes a la teoría ergódica y que tocan todos los puntos mencionados en la sección anterior: búsqueda de medidas invariantes (o volúmenes que se preservan), recurrencia y complejidad de un sistema dinámico.

II.1 Rigidez en autómatas celulares

La existencia de medidas de probabilidad invariantes para un sistema dinámico como los descritos anteriormente está asegurada por teoremas generales si por ejemplo el espacio es métrico y compacto. Un ejemplo clásico es el espacio X formado por secuencias bi-infinitas de símbolos en un alfabeto finito. Estos espacios se llaman simbólicos y en ellos actúa de manera natural la llamada translación hacia la izquierda o shift que consiste en tomar una secuencia  de símbolos en X indexada por los enteros y desplazarla hacia la izquierda de modo que la coordenada en 0 ahora es la posición 1 de la secuencia. El estudio de subconjuntos de X cerrados para la topología natural producto y la acción del shift se denomina dinámica simbólica. Otra dinámica interesante en este tipo de espacios es la generada por autómatas celulares. Ellos se estudian al menos desde el tiempo de Von Neumann como modelos de computación y por su capacidad para abstraer sistemas físicos y de la biología. Un autómata celular F actuando sobre el conjunto X consiste en cambiar el símbolo en cada coordenada de una secuencia en X siguiendo una regla local; esto es, una función que mira los símbolos de ciertas coordenadas vecinas de la coordenada que se quiere cambiar y la función local determina en función de esta información el nuevo símbolo. Este procedimiento es homogéneo a lo largo de la secuencia por lo que un autómata celular es  continuo para la topología producto y conmuta con el shift. En teoría ergódica se dice entonces que en X hay una acción combinada del autómata celular y del shift. Este fenómeno aparece de manera natural en muchas otras situaciones de la teoría ergódica y en relación a la existencia de medidas invariantes para el autómata celular se abre una pregunta de mucha relevancia: ¿cuales son las medidas de probabilidad en X que son invariantes para un autómata celular y el shift a la vez? Extrapolando a otros ámbitos de la teoría ergódica esta pregunta está ligada a la llamada conjetura de Furstenberg. Ella dice que, sacando probabilidades discretas, las únicas probabilidades invariantes a la vez por la multiplicación por dos y tres en el toro es la medida de Lebesgue. En nuestro contexto y pregunta esta conjetura hace sentido en muchas situaciones que se observan desde los 80. Un ejemplo básico, el problema de los tres puntos: consideremos que X es el conjunto de secuencias bi-infinitas de dos símbolos 0 y 1 y que el autómata celular F transforma cada coordenada de una secuencia sumando el símbolo en cada coordenada con el símbolo a su derecha. La suma es la suma binaria clásica. En este ejemplo simulaciones mostraban que si se partía con una configuración inicial al azar según una medida de Bernoulli uniforme con probabilidad p de ver 0 y (1-p) de ver 1, entonces luego de iterar muchas veces, en promedio las configuraciones tenían tantos 0’s como 1’s. Este fenómeno se denominó de randomización. Muchos otros ejemplos fueron mostrando el mismo fenómeno. En las figuras que siguen se ven 3 simulaciones donde hay cuatro símbolos ilustrados por cuatro colores. En cada simulación se parte con secuencias (aquí se ve una parte finita arriba de cada recuadro) donde en cada una cargamos un símbolo mas que otros, luego se itera muchas veces y a la derecha de cada recuadro se ve como va la simulación luego de mucho tiempo. En los tres casos observamos una especie de pantalla de televisión antigua donde pareciera que cada símbolo aparece con la misma frecuencia a lo largo de la secuencia, es decir ¼. El gráfico a la derecha de las simulaciones muestra la frecuencia de cada símbolo a lo largo del tiempo de una de las simulaciones y se ve que los símbolos parten distribuidos muy lejos de ¼ pero luego de un tiempo se acercan a la frecuencia uniforme.

Entender y proponer soluciones a este problema constituye una parte importante de mi trabajo junto a colaboradores en Chile, Brazil, USA, Canadá y Francia. Fundamentalmente nos hemos preocupado en los autómatas celulares del tipo descrito mas arriba (en general llamados algebraicos) de probar dos tipos de teoremas que justifican este comportamiento, aunque quedan muchas preguntas por resolver.

En primer lugar consideramos el problema de escoger secuencias en X por una medida de probabilidad donde se entienden bien las correlaciones entre sus símbolos, las llamamos medidas de probabilidad con decrecimiento de correlaciones sumable o p.d.s., luego iterarlas por un autómata celular algebraico y ver si las frecuencias de los símbolos tienden a ser uniformes. El teorema siguiente ilustra el tipo de teoremas mas importantes que probamos en esta dirección que luego fue generalizado por colaboradores (M. Pivato-R. Yassavi) y estudiantes de doctorado (M. Sobottka; M. Sablik):

Teorema (Ferrari-Maass-Martínez-Ney). Si F: X-> X es un autómata celular de tipo algebraico y m el shift en X y que verifica la propiedad p.d.s. entonces la media de Césaro siguiente converge:

1/N (m +  F¹ m  +  F² m ….. +  F^N-1 m )  à Bernoulli(1/M,….., 1/M),

donde M es el número de símbolos en el espacio X.

Es decir este teorema justifica las simulaciones que dicen que los símbolos en promedio tienden a verse uniformemente en las secuencias.

Otro punto de vista para el comportamiento descrito anteriormente lo desarrolló Dan Rudolph y su equipo en los 90 para atacar la conjetura de Furstenberg, lo que luego fue extendido por otros investigadores como Bernard Host y Elon Lindestrauss a contextos donde la dinámica es una acción de grupos muy complejos. En nuestro contexto el punto de vista de Rudolph consiste en preguntarse bajo que condiciones una medida de probabilidad que es invariante para el shift y un autómata celular necesariamente termina siendo una medida de Bernoulli uniforme. Las condiciones que propuso Rudolph son considerar que dicha medida de probabilidad tiene entropía positiva para una de las dinámicas y es ergódica para la otra. La condición de entropía positiva ha tratado de ser entendida y eliminada por mas de 4 décadas sin éxito. En nuestro contexto el teorema que probamos y que luego fue extendido por estudiantes de doctorado de nuestro equipo M. Sobottka y M. Sablik a contextos mas generales es el siguiente (solo menciono la versión análoga a aquella de Dan Rudolph):

Teorema (Ferrari-Maass-Martínez-Ney). Sean F: X-> X es un autómata celular de tipo algebraico y m el shift y F. Si la entropía de F con respecto a dicha medida es positiva y dicha medida es ergódica con respecto al shift, entonces  

m = Bernoulli(1/M,….., 1/M),

donde M es el número de símbolos en el espacio X.

El problema descrito en esta sección se ha denominado en contextos mas generales un problema de rigidez y es uno de los problemas relevantes de la teoría ergódica moderna. En particular, y como se señaló anteriormente, resolver la conjetura de Furstenberg llamada (x3,x2) sin restricciones en la entropía. Parte de nuestro trabajo actual se aboca a dicho problema.

II.2 Espectro de sistemas minimales de Cantor

Una clase especial de sistemas dinámicos son aquellos donde el espacio X  es un conjunto de Cantor. Los sistemas simbólicos descritos anteriormente forman parte de esta clase. En particular, los sistemas llamados minimales de Cantor aparecen en sin número de situaciones en la teoría ergódica. Esta situación ocurre cuando las órbitas de todos los puntos por la transformación T son densas en el espacio, es decir, pasan tan cerca como uno quiera de cualquier otro punto por su órbita. Hay una enormidad de estudios de dinámicas minimales en un conjunto de Cantor. Nuestro interés en investigación y en estas notas tiene que ver con la teoría espectral de sistemas dinámicos. El operador funcional natural asociado a un sistema dinámico T: X -> X y donde hay una probabilidad invariante m es aquel que a una función f de L²(m) le asocia la composición (f o T) (se llama operador de Koopman). Es natural entonces estudiar propiedades de este operador y ver como ellas entregan a su vez propiedades del sistema dinámico. Es el caso del estudio de los valores propios del operador de Koopman, es decir los números complejos l tal que f o T=l f.

En el caso de los sistemas minimales de Cantor el estudio de sus valores propios tiene un trabajo seminal para nuestra escuela en Chile. Bernard Host probó a finales de los 80 que los valores propios de sistemas sustitutivos (una clase particular de sistemas minimales de Cantor) se les puede asociar una función propia continua, es decir no solo en L²(m). En los 90 la descripción de los sistemas minimales de Cantor por medio de diagramas de Bratteli-Vershik dieron luces de los elementos combinatorios que de alguna manera permitían entender el resultado de Host de manera natural. Esto es el crecimiento de las torres de Kakutani-Rohlin que describen los diagramas de Bratteli-Vershik. Basados en esta constatación durante mas de una década hemos trabajado buscando condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo l sea el valor propio de una sistema minimal de Cantor y ver condiciones para que las funciones propias asociadas puedan ser tomadas continuas. El punto crucial es entender los elementos combinatoriales que sirven para describir las representaciones con diagramas de Bratteli-Vershik de estos sistemas y su relación con los valores propios.

Los primeros resultados (Cortés-Durand-Host-Maass; Bressaud-Durand-Maass) nos permitieron dar condiciones necesarias y suficientes para describir los valores propios de sistemas linealmente recurrentes (una generalización muy natural de los sistemas sustitutivos). Lo mas interesante de este trabajo es que permitió entender que el resultado para el caso sustitutivo de Host es una patología que se entiende desde los diagramas de Bratteli-Vershik. En el caso linealmente recurrente se observó además que la existencia de valores propios solo depende del crecimiento de las torres de Kakutani-Rohlin típicas de un sistema de este tipo y no de otros elementos combinatoriales que describen el orden de las órbitas de cada punto. Tomó mucho mas tiempo entender que la clase natural de sistemas dinámicos minimales de Cantor que se podía estudiar era la que llamamos de rango finito. Ella contiene a los sistemas minimales de Cantor que se pueden describir por diagramas de Bratteli-Vershik donde el número de torres de Kakutani-Rohlin por nivel está globalmente acotado. Esta clase tiene la virtud de englobar representaciones de sistemas minimales de mucha relevancia en teoría ergódica como los intercambios de intervalos. Resultados importantes de la teoría ergódica muestran que casi todos estos sistemas (parametrizados de alguna manera natural para poder medir cuantos son) no tienen valores propios. Esta historia termina en 2017 pues fuimos capaces de encontrar condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea el valor propio de un sistema minimal de Cantor de rango finito y mas aún entendimos cuando dicho valor propio admitía una función propia continua (Bressaud-Durand-Maass; Durand-Frank-Maass). La nomenclatura que se necesita para describir este teorema excede estas notas, sin embargo es necesario decir que este teorema concluye un programa de trabajo de mas de una década y abre muchas nuevas perspectivas de investigación, en particular el uso de esta nueva teoría para entender problemas espectrales en dinámicas de inspiración geométrica.

II.3 Complejidad y estructura de sistemas dinámicos

Una de los ejes mas hermosos en mi opinión de la teoría ergódica tiene que ver con las consecuencias que la complejidad de la trayectoria de sus orbitas tiene sobre distintos aspectos de la dinámica. La complejidad aquí se refiere a su medición a través de la entropía del sistema o los distintos objetos que la construyen. Una pregunta básica de esta teoría es que implicancias tiene la entropía positiva o saber si es compatible con otras medidas de complejidad como los distintos tipos de mezcla (ergodicidad, minimalidad, mezcla débil y fuerte, entre otras).

A inicios de los 90 François Blanchard quiso abordar esta problemática localizando la entropía en sistemas dinámicos topológicos, encontrando pares de puntos en el espacio de que alguna manera permiten justificar la existencia de la entropía en un sistema dinámico. Estos pares en palabras simples cumplen que muchas órbitas van de una a la otra de manera frecuente (en tiempos de densidad positiva para ser mas preciso). Este conjunto de pares topológicos fueron luego extendidos a la noción de pares de entropía para una medida invariante y se estableció un principio variacional local: los pares de entropía para una medida invariante están contenidos en los pares de entropía topológicos y además existen medidas donde estos conjuntos coinciden (destaco el trabajo doctoral de Pierre Paul Romagnoli que permitió desbloquear esta pregunta). El impacto de esta noción en teoría ergódica copó la década del 90 e inicios del nuevo siglo. Una de sus principales resultados lo obtuvimos con Francois Blanchard, Eli Glasner y Sergei Kolyada en esa época. La pregunta fue: es que la entropía positiva implica comportamiento caótico en algún sentido de los muchos sentidos que este concepto tiene. La teoría local de la entropía permitió dar una respuesta corta y clara a una pregunta de larga data sobretodo en la comunidad interesada en la dinámica del intervalo donde se buscaba desde casi medio siglo responder si la entropía positiva implicaba el caos que luego se llamó de Li y Yorke (en honor a dos matemáticos del área). El teorema principal dice lo siguiente:

Teorema (Blanchard-Glasner-Kolyada-Maass). Sea (X,T) un sistema dinámico topológico (es decir T:X -> X es un homeomorfismo del espacio métrico compacto X). Si este sistema tiene entropía positiva entonces es caótico en el sentido de Li y Yorke. Esto quiere decir que existe un subconjunto denso K de X tal que cada para (x,y) en KxK tiene órbitas que se alejan y acercan tanto como uno quiera. 

Si bien hasta aquí no he dado demostraciones en este teorema es interesante elaborar en esa dirección. El punto clave de la demostración son los pares de entropía. Sabíamos de nuestros desarrollos anteriores que la entropía positiva implica la existencia de pares de entropía y mas aún que el conjunto de pares de entropía unido con la diagonal del sistema forman un sistema transitivo para la transformación producto. Esto en particular implica que existen puntos como los del teorema. Es decir este resultado buscado desde tanto tiempo es en parte consecuencia de la existencia de la teoría de pares de entropía que intuyó Francois Blanchard y que luego desarrollamos por mas de una década entre la cooperación entre Chile y Francia. Finalmente la demostración del resultado total es elaborar sobre esta misma noción, lo que es complejo pero ya resulta sistemático cuando sabemos que la base de este resultado son los pares de entropía.

Luego de este resultado se abre una pregunta obvia. Que pasa con los sistemas de entropía cero. Ahí el mundo es desconocido y hay que visitar clases precisas de sistemas o hacerse preguntas muy extremas. Motivados por la noción de par de entropía definimos la noción de pares de complejidad pensando que podíamos capturar algo de los sistemas de entropía cero. Nos encontramos con un teorema de estructura del sistema.

Teorema (Blanchard-Host-Maass). Sea (X,T) un sistema dinámico topológico que verifica que todo par de puntos tiene complejidad local acotada. Entonces el sistema debe ser una rotación de un grupo Abeliano compacto.

Es decir si la combinatoria local de los pares de órbitas es pobre el espacio tiene estructura y la dinámica es la mas simple que se puede definir en ese espacio. Por eso decimos que es un teorema de estructura. La pregunta que sigue es saber si el espacio y la dinámica quedan determinados por complejidades locales polinomiales. Esta pregunta se ha tratado de atacar de muchas maneras sin resultados satisfactorios. Sin embargo hace una década dimos con clases de sistemas que aparecen de manera natural en las demostraciones de Bernard Host y Bryna Kra de la convergencia de medias ergódicas no convencionales (teoremas buscados por casi un siglo). Estos son los nil-sistemas, que consisten en rotaciones en superficies nilpotentes. No tiene sentido definirlas en estas notas pero es bueno decir que es la clase natural a estudiar luego de los grupos Abelianos compactos en teoría ergódica. Si bien no fuimos capaces de ligar complejidad del sistema en términos de entropía o sus derivados con este tipo de estructura, si fuimos capaz de caracterizar este tipo de dinámicas introduciendo un nuevo concepto en la teoría que llamamos cubos dinámicos. La teoría es larga de explicar pero para dar una sensación lo que hacemos es tomar híper cubos de todas las dimensiones posibles y poner de manera dinámica puntos del espacio en sus esquinas. Esto da una jerarquía de cubos dinámicos en todas las dimensiones que se relacionan por muchas propiedades y esto genera una estructura algebraica. El teorema principal de estructura encontrado es el siguiente.

Teorema (Host-Kra-Maass). Si (X,T) es un sistema dinámico topológico transitivo (hay órbitas densas) entonces son equivalentes:

• Los cubos de dimensión d+1 verifican que: conocidas todas las esquinas de un cubo de esta dimensión salvo una se puede determinar de manera única la que falta.
• El sistema es un límite inverso de nil-sistemas de dimensión d.

Es decir, una propiedad absolutamente combinatorial o de complejidad de órbitas determina la estructura de la dinámica.  Este resultado y sus condimentos sirvieron luego de base para enfrentar la convergencia puntual de medias ergódicas no convencionales donde no puedo dejar de citar los resultados de Sebastián Donoso y Wenbo Sun que representan los avances mas importantes de la teoría al día de hoy.

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Termino aquí estas notas, que solo resumen una parte de las consecuencias y resultados de la teoría local de entropía, el estudio de la dinámica de sistemas simbólicos y de Cantor y la teoría estructural de sistemas dinámicos topológicos en que me ha tocado trabajar. Todos los resultados descritos antes representan desarrollos de mas de veinte años de investigación, muchos de ellos han motivado partes las tesis de doctorado de muchos jóvenes investigadores chilenos. Aprovecho este espacio para agradecerles la confianza que me dieron al permitirme dirigir sus trabajos de tesis y compartir conmigo sus ideas e inquietudes científicas en teoría ergódica.